格。由图可见，由于一对啮合齿的网格可以彼此独立划分，所以划分方便，且网格均匀。这里要强调指出的是，由于采用插值和规划方法，所以在多齿对啮合时，每个齿上接触点的柔度，也只需在单齿有限元模型上计算和插值。
　　郑昌启。螺旋锥同步带轮轮齿加载接触分析计算原理[ J].机械工程学报， 1993， 29（ 4）： 50～54李润方。运转中啮合轮齿的三维应力应变数值分析及实验研究[ J].机械工程学报， 1994， 30（ 2）： 38～
  慈溪市贝力同步带轮有限公司是一家专业从事同步带、同步带轮、齿轮行业的专业生产企业。座落于长三角经济区桥头堡慈溪市逍林，西接世界最长杭州湾跨海大桥，东临中国第一深水港北仑，交通极为便利。
　　3计算实例与结果将上述全部过程应用于一对弧齿锥同步带轮副。该同步带轮副的几何参数列于表1，其加工参数列于表2.
　　1柔度张量与方向柔度对于齿面上任意两个有限元网格结点i、j ，可以定义柔度张量为张量矩阵中任一元素f表示在j点v方向作用一单位力时，i点u方向产生的位移，x ， y，z为整体坐标系坐标方向。根据材料力学位移互等原理， f对称。
  目前公司拥有先进的同步带和带轮的生产、加工、检测等设备。关键技术人员在同步带传动行业有十几年的设计、研发经验。紧跟国际潮流，参照国际标准生产、加工，产品质量在行业内有口皆碑。产品畅销全国20多个省、自治区、直辖市，并出口欧美、澳洲、东南亚等国家和地区，得到了国内外客户的一致认可和好评。
　　弧齿锥同步带轮在航空传动中应用十分广泛，尤其是作为直升机主传动部件，其运行质量是非常重要的。弧齿锥同步带轮轮齿几何非常复杂，这使其力学分析也非常困难。最初，美国的Gleason公司和Litvin教授在几何分析中粗略地引入了齿面赫兹变形的概念[1 ]，以确定接触椭圆的大小。近年来，美国的首先采用线性方程组来建模和求解弧齿锥同步带轮的承载接触问题[2 ]，但由于接触问题本身的非线性，计算结果与实际不符。美国Bibel应用有限元方法分析弧齿锥同步带轮轮齿的接触并计算接触应力分布[3 ]，使计算精度有了很大提高。郑昌启、李润方等人在几何分析的基础上，提出了采用材料力学方法的螺旋锥同步带轮承载接触分析[4 ]，进一步又用有限元技术研究了这一问题[5 ].有限元是目前该类研究中普遍采用的方法，但建立一对齿啮合的有限元模型，需要在接触区有公共结点，这使得网格划分非常困难。且随接触位置的变化，又须重新划分网格和进行有限元计算，工作量很大，不适于在工程中应用。为此，本文提出了柔度张量的概念，并采用规划法进行弧齿锥同步带轮的有摩擦弹性接触分析，该方法大大简化了计算，又能保证有限元的计算精度，是十分方便的工程分析方法。
　　4结论本文提出了柔度张量的概念，通过有限元计算齿面网格结点的柔度张量，齿面任意点的任何方向的柔度可以通过插值得到。用插值法计算齿面接触点柔度，轮齿有限元网格划分简单，并只需一次有限元计算，齿面各接触位置上所有接触点的柔度只需通过插值计算，这使得计算量大为减少。应用于弧齿锥同步带轮副的计算实例表明，本文建立的有摩擦载荷增量下的接触问题的线性规划极大地简化了数学模型的求解过程，便于工程实际应用。
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　　由于有摩擦的接触变形过程是非线性过程，因此采用逐步加载法，即将载荷分段后逐次加载。式（ 8）可以表达为增量形式，用载荷增量ΔM代替d，用上一步计算得到Y来代替本步的X.
　　弧齿锥同步带轮的有摩擦承载接触分析田行斌，方宗德（西北工业大学机械工程系，陕西西安710072）采用有限元方法计算工作齿面网格结点的柔度张量，并通过插值和叠加获得一对啮合齿在各接触位置上接触椭圆长轴离散点的综合柔度，然后结合齿面几何因素（包括齿面间隙、滑动系数、法矢和切矢对于转轴的矢径等） ，建立了弧齿锥同步带轮接触问题的线性规划模型，采用载荷增量法求解了有摩擦的接触变形过程。最后以一对弧齿锥同步带轮为例，进行了整个啮合过程的承载接触分析。
　　（ 2）滑动状态（ 3）自由状态接触问题的数学模型可以简化为具有特殊约束的线性规划[6 ].假定接触点对i之间的初始法向间距为X i，正压力P和摩擦力P对于被动同步带轮转轴的矢径分别为r和r i，滑动系数为C si，表示当该点有法向相对位移rθ时，相应的滑动距离与法向位移之比。这些几何因素都可通过TCA（ Tooth准确获得。则轮齿的有摩擦接触可以表示为如下规划形式接触状态条件为若Y若T式中， P和P为正压力和摩擦力向量，它们表示为同样可定义n维初始间距向量X，法向间隙向量Y ，切向间距向量T ，法线矢径向量r（n），切线矢径向量r（t ），滑动向量C（元素为C 1…3n　1）为人工变量， [I ]为单位矩阵，O为零向量，θ为被动同步带轮转角， M为负载力矩， [_ ]为对角元素为_的对角阵。
　　（ 8）和（ 9）式表示的线性规划可以非常方便地求解[ 6].若整个啮合周期（包括多齿对啮合）离散为m个接触位置，则在每个啮合位置上求解接触问题，即可方便地得到全部接触过程。而每个接触位置上的被动轮附加转角θ（ j = 1…m）则构成了一个周期的承载传动误差。
　　这对同步带轮的计算负载为 Nm，载荷增量取为30 Nm.计算时每个啮合周期划分8个间隔。
　　本文研究只考虑齿面沿接触椭圆长轴的接触。
　　2求解接触问题的规划法研究中归纳了三种不同的点对的接触状态。设加载后该接触点对间的法向间距为Y ，切向距离为T，正压力为P（n ），摩擦力为P，则这3种状态分别为（ 1）连续状态式中， _为摩擦系数，本文中取为0. 1.
　　假定相啮合同步带轮中一对同步带轮的工作齿面有网格角结点N个，齿面接触线（椭圆长轴）上离散后产生n个可能接触点，则先通过有限元计算得到N×N个网格结点张量[f得到n×n个接触点张量[f ] 1…n）。图1所示为齿面网格在通过同步带轮轴线的平面西北工业大学学报上的旋转投影，图中表示插值节点（网格角结点） ，表示插值点（接触点） ，可以由二元插值得到令n为单位法线，向内为正令t为单位切线，与滑动方向相反为正，则法向、切向和交叉柔度分别为方向柔度f作用一单位力时，在i点p方向产生的位移。对于图1所示齿面瞬时接触位置上的n个可能接触点，定义法向、切向和交叉柔度矩阵分别为当M对齿同时啮合时，假定载荷只令被作用齿产生位移，而对邻近齿无影响，每个齿的瞬时接触椭圆长轴上的柔度矩阵分别为[F ]（为简便起见略去上标） ，则这一啮合位置上的柔度矩阵为一对角分块矩阵这对相啮合同步带轮中的另一同步带轮的柔度矩阵按同一程序计算，然后将两个同步带轮的柔度矩阵叠加，得到啮合同步带轮副的柔度矩阵。对于不同的接触位置，只须插值而无须重新进行有限元计算。
　　小轮大轮齿数压力角/（°）轴交角/（°）螺旋角/（°）外锥矩/mm齿宽/mm分锥角/（°）根锥角/（°）面锥角/（°）齿根高/mm齿顶高/mm顶隙/mm旋向左旋右旋小轮凹面大轮凸面刀盘直径/mm刀顶距/mm齿形角/（°）刀尖半径/mm摇台半径/mm摇台角/（°）轴向轮位/mm床位/mm垂直轮位/mm轮位角/（°）滚比中图4是正压力分布，图5是摩擦力分布，由于弧齿锥同步带轮传动中存在节锥，故在节点附近摩擦力接近为零。图6、图7分别为无载荷作用和有载荷作用下的传动误差。图4～7所示的计算结果，为进一步的同步带轮强度分析和振动分析提供了可靠的前提条件。